Question

10．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且x＞0時，f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}$x．
（1）求x＜0時，函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若f（x）≤1，求實數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)x＜0時，-x＞0，根據(jù)函數(shù)的奇偶性，結(jié)合當(dāng)x＞0時，f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}$x，可求出x＜0時函數(shù)的表達(dá)式；
（2）分類討論，解不等式，即可求實數(shù)x的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)x＜0時，-x＞0，
∵當(dāng)x＞0時，f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}$x，
∴f（-x）=${log}_{\frac{1}{2}}$（-x），
∵f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x）
即f（x）=-f（-x）=-${log}_{\frac{1}{2}}$（-x），x＜0，
（2）x＞0時，f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}$x≤1，∴x≥$\frac{1}{2}$；
x＜0時，f（x）=-${log}_{\frac{1}{2}}$（-x）≤1，∴x≤-2．
綜上，x≥$\frac{1}{2}$或x≤-2．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，考查解不等式，確定函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．