Question

已知函數(shù)f(x)=(ax2-x)lnx-

1

2

ax2+x．（a∈R）．
（I）當(dāng)a=0時，求曲線y=f（x）在（e，f（e））處的切線方程（e=2.718…）；
（II）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

（ I）當(dāng)a=0時，f（x）=x-xlnx，f'（x）=-lnx，…（2分）
所以f（e）=0，f'（e）=-1，…（4分）
所以曲線y=f（x）在（e，f（e））處的切線方程為y=-x+e．…（5分）
（ II）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）f′(x)=(ax2-x)

1

x

+(2ax-1)lnx-ax+1=(2ax-1)lnx，…（6分）
①當(dāng)a≤0時，2ax-1＜0，在（0，1）上f'（x）＞0，在（1，+∞）上f'（x）＜0
所以f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上遞減； …（8分）
②當(dāng)0＜a＜

1

2

時，在（0，1）和(

1

2a

，+∞)上f'（x）＞0，在(1，

1

2a

)上f'（x）＜0
所以f（x）在（0，1）和(

1

2a

，+∞)上單調(diào)遞增，在(1，

1

2a

)上遞減；…（10分）
③當(dāng)a=

1

2

時，在（0，+∞）上f'（x）≥0且僅有f'（1）=0，
所以f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；                …（12分）
④當(dāng)a＞

1

2

時，在(0，

1

2a

)和（1，+∞）上f'（x）＞0，在(

1

2a

，1)上f'（x）＜0
所以f（x）在(0，

1

2a

)和（1，+∞）上單調(diào)遞增，在(

1

2a

，1)上遞減…（14分）