Question

4．設$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$，$\overrightarrow e$為平面向量，若$|{\overrightarrow e}|=1$，$\overrightarrow a•\overrightarrow e=1$，$\overrightarrow b•\overrightarrow e=2$，$|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=2$，則$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$的最小值為3，$\overrightarrow a•\overrightarrow b$的最小值為$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 如圖所示，建立直角坐標系．$|{\overrightarrow e}|=1$，不妨設$\overrightarrow{e}$=（1，0），由$\overrightarrow a•\overrightarrow e=1$，$\overrightarrow b•\overrightarrow e=2$，不妨設$\overrightarrow{a}$=（1，m），$\overrightarrow$=（2，n），利用向量的模的計算即可求出$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$的最小值，再利用數(shù)量積運算即可得出$\overrightarrow a•\overrightarrow b$的最小值．

解答 解：如圖所示，建立直角坐標系．
∵$|{\overrightarrow e}|=1$，不妨設$\overrightarrow{e}$=（1，0），
∵$\overrightarrow a•\overrightarrow e=1$，$\overrightarrow b•\overrightarrow e=2$，
不妨設$\overrightarrow{a}$=（1，m），$\overrightarrow$=（2，n）．
∴$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=（3，m+n），
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|²=9+（m+n）²，
∴$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$的最小值為3，
∴$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$=（-1，m-n），
∵$|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=2$，
∴1+（m-n）²=4，
∴（m+n）²=3+4mn≥0，
∴mn≥-$\frac{3}{4}$，當且僅當m=-n=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$時取等號，
∴$\overrightarrow a•\overrightarrow b$=2+mn≥2-$\frac{5}{4}$=$\frac{5}{4}$．
故答案為：3，$\frac{5}{4}$

點評 本題考查了通過建立直角坐標系解決向量有關問題、數(shù)量積運算及其性質(zhì)、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力和解決問題的能力，屬于難題