Question

15．已知函數(shù)f（x）=ax³+bx+2，在X=2處取得極值-14．
（1）求a，b的值；
（2）若f（x）≥kx在（0，2]上恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)f′（x）=3ax²+b，從而可得$\left\{\begin{array}{l}{f′（2）=12a+b=0}\\{8a+2b+2=-14}\end{array}\right.$，從而解出a，b的值并檢驗(yàn)；
（2）由（1）知f（x）=x³-12x+2，從而f（x）≥kx可化為k≤x²+$\frac{2}{x}$-12，x∈（0，2]；再令g（x）=x²+$\frac{2}{x}$-12，x∈（0，2]；從而化為函數(shù)的最值問題求解即可．

解答 解：（1）∵f（x）=ax³+bx+2，
∴f′（x）=3ax²+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（2）=12a+b=0}\\{8a+2b+2=-14}\end{array}\right.$，
解得，a=1，b=-12；
經(jīng)檢驗(yàn)，a=1，b=-12符合題意；
（2）由（1）知f（x）=x³-12x+2，
故f（x）≥kx可化為k≤x²+$\frac{2}{x}$-12，x∈（0，2]；
令g（x）=x²+$\frac{2}{x}$-12，x∈（0，2]；
則g′（x）=2x-$\frac{2}{{x}^{2}}$=$\frac{2（{x}^{3}-1）}{{x}^{2}}$；
故當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，g′（x）＞0，g（x）在（1，2]上單調(diào)遞增；
故g_min（x）=g（1）=-9，
故k的取值范圍是（-∞，-9]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問題與最值問題，屬于中檔題．