Question

（2013•青島一模）已知n∈N^*，數(shù)列{d_n}滿足dn=

3+(-1)n

2

，數(shù)列{a_n}滿足a_n=d₁+d₂+d₃+…+d_2n；又知數(shù)列{b_n}中，b₁=2，且對任意正整數(shù)m，n，

b

m n

=

b

n m

．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和數(shù)列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）將數(shù)列{b_n}中的第a₁項，第a₂項，第a₃項，…，第a_n項，…刪去后，剩余的項按從小到大的順序排成新數(shù)列{c_n}，求數(shù)列{c_n}的前2013項和．

Answer 1

分析：（I）由dn=

3+(-1)n

2

，代入分組求和，然后結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可求a_n，然后可求b_n
（Ⅱ）由題知新數(shù)列{c_n}中的奇數(shù)列與偶數(shù)列仍成等比數(shù)列，首項分別是b₁=2，b₂=4公比均是8，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式分組求和即可求解

解答：解：（I）∵dn=

3+(-1)n

2

，
∴a_n=d₁+d₂+d₃+…+d_2n=

3-1

2

+

3+1

2

+…

3-1

2

+

3+1

2

=

2

2

×n+

4n

2

=3n…（3分）
又由題知：令m=1，則b2=

b

2 1

=22，b3=

b

3 1

=23…bn=

b

n 1

=2n…（5分）
若bn=2n，則

b

m n

=2nm，

b

n m

=2mn，所以

b

m n

=

b

n m

恒成立
若bn≠2n，當m=1，

b

m n

=

b

n m

不成立，所以bn=2n…（6分）
（Ⅱ）由題知將數(shù)列{b_n}中的第3項、第6項、第9項…刪去后構(gòu)成的新數(shù)列{c_n}中的奇數(shù)列與偶數(shù)列仍成等比數(shù)列，首項分別是b₁=2，b₂=4公比均是8，…（9分）
∴T₂₀₁₃=（c₁+c₃+c₅+…+c₂₀₁₃）+（c₂+c₄+c₆+…+c₂₀₁₂）
=

2×(1-81007)

1-8

+

4×(1-81006)

1-8

=

20×81006-6

7

…（12分）

點評：本題主要考查了等差數(shù)列的求和公式的應(yīng)用及等比數(shù)列的求和公式的應(yīng)用．