Question

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0且f（xy）=f（x）+f（y）
（1）求f（1），并求證：f（）=-f（x）
（2）證明f（x）在定義域上是增函數(shù)．
（3）如果f（）=-1求滿足不等式f（）≥2的x的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵f（xy）=f（x）+f（y）
令x=y=1，則f（1）=f（1）+f（1）
解得f（1）=0
令y=，則f（x•）=f（x）+f（）=f（1）=0
故f（）=-f（x）
（2）設(shè)0＜x₁＜x₂，則＞1，則f（）＞0，
則令x=x₁，y=，
則f（x₂）=f（x₁•）=f（x₁）+f（）＞f（x₁）
故f（x）在定義域上是增函數(shù)
（3）∵f（）=-1，
∴f（3）=1，f（9）=f（3）+f（3）=2
又∵f（x）在定義域上是增函數(shù)，
故不等式f（）≥2可化為f（）≥f（9）
即≥9
解得2＜x≤
即滿足條件的x的取值范圍為（2，]
分析：（1）利用賦值即令x=y=1的方法易得f（1），令y=，結(jié)合f（1）的值，可證得f（）=-f（x）
（2）抽象函數(shù)的單調(diào)性的證明，需要特別的構(gòu)造方法，本題中的特點(diǎn)是含有f（xy），因此在設(shè)出0＜x₁＜x₂之后想到構(gòu)造出：＞1，可應(yīng)用已知得到f（）＞0，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義得到結(jié)論
（3）根據(jù)f（）=-1，結(jié)合（1）（2）中的結(jié)論，可將f（）≥2具體化，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的定義，解不等式可得答案．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是抽象函數(shù)及其應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，抽象不等式的解法，熟練掌握抽象函數(shù)的解答技巧--“湊”是解答的關(guān)鍵．