Question

【題目】已知，函數(shù)，函數(shù)．

（1）當(dāng)函數(shù)圖象與軸相切時(shí)，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若函數(shù)對恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，在區(qū)間有1個零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)．

【解析】

（1）設(shè)切點(diǎn)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義為切線的斜率構(gòu)建方程，求得答案；

（2）結(jié)合已知表示函數(shù)的解析式，對其求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)解析式可知在單調(diào)遞增，再分類討論當(dāng)，當(dāng)，兩種情況下的單調(diào)性和最值即可；

（3）結(jié)合已知表示函數(shù)的解析式，對其求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)解析式可知在單調(diào)遞減，分類討論當(dāng)時(shí)，易證，無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由不等式性質(zhì)與單調(diào)性易證得有1個零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由零點(diǎn)的存在性定理可知存在唯一，使得，再利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，進(jìn)而分析出此時(shí)無零點(diǎn).

（1）由題得設(shè)切點(diǎn)，，

所以，

，解得；

（2），

因?yàn)?/span>在單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞增，

所以．

當(dāng)，，在單調(diào)遞增，

所以恒成立，所以．

當(dāng)，，

所以，

當(dāng)，

所以，使得，

當(dāng)，，在單調(diào)遞減，

所以時(shí)，，與矛盾舍去．

綜上 ．

（3），，在單調(diào)遞減．

當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?/span>，

所以，即在單調(diào)遞增．

則，所以在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)．

當(dāng)時(shí)，，

所以，

，所以存在唯一，使得．

所以在區(qū)間有1個零點(diǎn)．

當(dāng)時(shí)，

在單調(diào)遞減，

所以存在唯一，使得，

當(dāng)，，在單調(diào)遞增，

當(dāng)，，在單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時(shí)，最大值為，

代入得，，

因?yàn)?/span>，所以，故，

所以，在在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)．

綜上，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間有1個零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)．