Question

1．正數a、m、b構成公差為-$\frac{1}{2}$的等差數列，a，b的等比中項是2$\sqrt{5}$，則雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的離心率為（　�。�

• A． $\frac{5}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{41}}{4}$
• C． $\frac{5}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{41}}{5}$

Answer 1

分析 根據題意，由等差數列．等比數列的性質可得a=b+1①和ab=20②，聯(lián)立①②解可得：a=5，b=4，即可得雙曲線的標準方程，由雙曲線離心率公式計算可得答案．

解答 解：根據題意，正數a、m、b構成公差為-$\frac{1}{2}$的等差數列，則有a=b+1，①
a，b的等比中項是2$\sqrt{5}$，則有ab=20，②
聯(lián)立①②解可得：a=5，b=4，
則雙曲線的方程為：$\frac{{x}^{2}}{25}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，
則c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{41}$，
則其離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{41}}{5}$；
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的幾何性質，涉及等差、等比數列的通項公式，關鍵是求出a、b的值．