Question

已知數列{a_n}的前n項和，且a_n是b_n與1的等差中項．
（1）求數列{a_n}和數列{b_n}的通項公式；
（2）若，求c₂+c₃+c₄+…+c_n；
（3）若，是否存在n∈N*使得f（n+11）=2f（n），并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）當n大于等于2時，由a_n=S_n-S_n-1得出通項公式，然后把n=1代入通項公式進行驗證，即可得到數列{a_n}的通項公式，再由a_n是b_n與1的等差中項，根據等差數列的性質得到2a_n=b_n+1，由數列{a_n}的通項公式即可求出數列{b_n}的通項公式；
（2）把（1）得出的數列{a_n}的通項公式，代入，利用拆項的方法變形，然后列舉出c₂+c₃+c₄+…+c_n的各項，抵消合并可求出值；
（3）不存在，理由為：分n為奇數和偶數兩種情況考慮：當n為奇數時，n+11為偶數，分別代入相應的解析式中求出f（n）和f（n+11），發(fā)現方程f（n+11）=2f（n）無解；當n為偶數時，n+11為奇數，分別代入相應的解析式中求出f（n）和f（n+11），發(fā)現方程f（n+11）=2f（n）也無解，故不存在n使f（n+11）=2f（n）．
解答：解：（1）當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n（n-1）-（n-1）（n-2）=n-1，
把n=1代入驗證，滿足通項公式，
則a_n=n-1，又a_n是b_n與1的等差中項，
則b_n=2a_n-1=2（n-1）-1=2n-3；
（2）因為a_n=n-1，
所以，
則c₂+c₃+c₄+…+c_n=1-+-+-…+-=1-；
（3）不存在，理由為：
當n是奇數時，n+11為偶數，
此時f（n）=a_n=n-1，f（n+11）=b_n+11=2n+19，
由f（n+11）=2f（n）知無解；
當n是偶數時，n+11為奇數，
此時f（n）=b_n=2n-3，f（n+11）=a_n+11=n+10，
由f（n+11）=2f（n）知無解，
所以滿足題意的n不存在．
點評：此題考查了等差數列的通項公式，等差數列的性質，數列的求和，以及分類討論思想的運用，熟練掌握等差數列的通項公式及性質是解本題的關鍵，其中注意第二小問拆項的方法．