Question

7．已知點A，B是橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右頂點，F(xiàn)為左焦點，點P是橢圓上異于A，B的任意一點，直線AP與過點B且垂直于x軸的直線l交于點M，直線MN⊥BP于點N．
（1）求證：直線AP與直線BP的斜率之積為定值；
（2）若直線MN過焦點F，$\overrightarrow{AF}=λ\overrightarrow{FB}$（λ∈R），求實數(shù)λ的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，設P（x₀，y₀），由P的坐標表示直線AP與直線BP的斜率，求其積可得${k_{AP}}•{k_{BP}}=\frac{y_0}{{{x_0}+a}}•\frac{y_0}{{{x_0}-a}}=\frac{{{y_0}^2}}{{{x_0}^2-{a^2}}}$，由橢圓的性質即可得證明；
（2）設直線AP與BP斜率分別為k₁、k₂，進而可得直線AP的方程，分析可得${k_{MN}}=-\frac{a^2}{b^2}•{k_1}$，又F、N、M三點共線，得k_MF=k_MN，即$\frac{{2a{k_1}}}{a+c}=\frac{a^2}{b^2}•{k_1}$，由向量的數(shù)乘運算的意義分析可得證明．

解答 解：（1）證明：設P（x₀，y₀）（x₀≠±a），
由已知A（-a，0），B（a，0），
∴${k_{AP}}•{k_{BP}}=\frac{y_0}{{{x_0}+a}}•\frac{y_0}{{{x_0}-a}}=\frac{{{y_0}^2}}{{{x_0}^2-{a^2}}}$．①
∵點P在橢圓上，∴$\frac{{{x_0}^2}}{a^2}+\frac{{{y_0}^2}}{b^2}=1$．②
由①②得${k_{AP}}•{k_{BP}}=\frac{{{y_0}^2}}{{{x_0}^2-{a^2}}}=\frac{{-\frac{b^2}{a^2}（{x_0}^2-{a^2}）}}{{{x_0}^2-{a^2}}}=-\frac{b^2}{a^2}$（定值）．
∴直線AP與直線BP的斜率之積為定值$-\frac{b^2}{a^2}$．
（2）設直線AP與BP斜率分別為k₁、k₂，
由已知F（-c，0），直線AP的方程為y=k₁（x+a），
直線l：x=a，則M（a，2ak₁）．
∵MN⊥BP，∴k_MN•k₂=-1．
由（1）知${k_1}•{k_2}=-\frac{b^2}{a^2}$，故${k_{MN}}=-\frac{a^2}{b^2}•{k_1}$，
又F、N、M三點共線，
得k_MF=k_MN，即$\frac{{2a{k_1}}}{a+c}=\frac{a^2}{b^2}•{k_1}$，
得2b²=a（a+c）．
∵b²=a²-c²，
∴2（a²-c²）=a²+ac，2c²+ac-a²=0，$2{（\frac{c}{a}）^2}+\frac{c}{a}-1=0$，
解得$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$或$\frac{c}{a}=-1$（舍去）．
∴a=2c．
由已知$\overrightarrow{AF}=λ\overrightarrow{FB}$，得（a-c，0）=λ（a+c，0），
將a=2c代入，得（c，0）=λ（3c，0），故$λ=\frac{1}{3}$．

點評 本題考查直線與橢圓的位置關系，涉及橢圓的幾何性質，關鍵要熟悉橢圓的幾何性質．