Question

14．已知點(diǎn)P（x，y）是函數(shù)y=$\sqrt{-{x}^{2}+4x-3}$上的點(diǎn)，則$\frac{y+1}{x}$的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，1]
• B． （-∞，$\frac{1}{3}$]
• C． （-∞，$\frac{1}{3}$]∪[1，+∞）
• D． [$\frac{1}{3}$，$\frac{4}{3}$]

Answer 1

分析 函數(shù)即（x-2）²+y²=1（y≥0），表示以C（2，0）為圓心、半徑等于1的半圓（位于x軸或x軸上方的部分），而$\frac{y+1}{x}$表示半圓上的點(diǎn)（x，y）與點(diǎn)A（0，-1）連線的斜率．再利用直線和圓相切的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式，數(shù)形結(jié)合求得$\frac{y+1}{x}$的取值范圍．

解答 解：函數(shù)y=$\sqrt{-{x}^{2}+4x-3}$，即（x-2）²+y²=1（y≥0），表示以C（2，0）為圓心、
半徑等于1的半圓（位于x軸或x軸上方的部分），
而$\frac{y+1}{x}$表示半圓上的點(diǎn)（x，y）與點(diǎn)A（0，-1）連線的斜率．
設(shè)過點(diǎn)A的圓的切線斜率為k，點(diǎn)B（3，0），則AB的斜率最小為$\frac{0+1}{3-0}$=$\frac{1}{3}$，如圖所示，
則過點(diǎn)A的圓的切線方程為y+1=k（x-0），即kx-y-1=0，則由圓心到切線的距離等于半徑，
可得$\frac{|2k-0-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，求得k=0（舍去），或k=$\frac{4}{3}$，
故$\frac{y+1}{x}$的取值范圍是[$\frac{1}{3}$，$\frac{4}{3}$]，
故選：D．

點(diǎn)評 本題主要考查直線和圓相切的性質(zhì)，直線的斜率公式，用點(diǎn)斜式求直線的方程，屬于中檔題．