Question

1．已知點(diǎn)P（0，2），設(shè)直線l：y=kx+b（k，b∈R）與圓C：x²+y²=4相交于異于點(diǎn)P的A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）若$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=0，求b的值；
（Ⅱ）若|AB|=2$\sqrt{3}$，且直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，求直線l的斜率k的值；
（Ⅲ）當(dāng)|PA|•|PB|=4時(shí)，是否存在一定圓M，使得直線l與圓M相切？若存在，求出該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由P在圓上，且$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=0，可知直線l過(guò)圓心O，由此求出b的值；
（2）由|AB|=2$\sqrt{3}$得到原點(diǎn)O到直線l的距離，再由面積為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$得另一關(guān)于k和b的等式，聯(lián)立方程組求得滿足條件的k值；
（3）聯(lián)立直線方程和圓的方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，由|PA|•|PB|=4得到A，B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系得到直線l的斜率和截距的關(guān)系，由點(diǎn)到直線的距離公式求出P到直線l的距離為定值，由此可得存在一定圓M，方程是x²+（y-2）²=1，使得直線l與圓M相切．

解答 解：（Ⅰ）∵點(diǎn)P（0，2）在圓C：x²+y²=4上，且直線l：y=kx+b與圓C交于A，B兩點(diǎn)，
當(dāng)$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=0時(shí)，$\overrightarrow{PA}⊥\overrightarrow{PB}$，
∴直線l過(guò)圓心O（0，0），則b=0；
（Ⅱ）由題意可知，直線l不過(guò)原點(diǎn)O，不妨設(shè)k＞0，b＞0，
由|AB|=2$\sqrt{3}$，得$\frac{|b|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=\sqrt{4-（\sqrt{3}）^{2}}=1$，①
取x=0，得y=b，取y=0，得x=-$\frac{k}$，
∴$\frac{1}{2}•\frac{k}•b=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，②
聯(lián)立①②解得：$k=\sqrt{3}$或k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
由對(duì)稱性可得滿足條件的直線l的斜率的值為$±\frac{\sqrt{3}}{3}$或$±\sqrt{3}$；
（Ⅲ）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，消去y，得（k²+1）x²+2kbx+b²-4=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=-$\frac{2kb}{1+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{^{2}-4}{1+{k}^{2}}$，
∵|PA|•|PB|=4，∴$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+（{y}_{1}-2）^{2}}•\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+（{y}_{2}-2）^{2}}=4$，
∴$（{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}-4{y}_{1}+4）（{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}-4{y}_{2}+4）$=16，
即（2-y₁）（2-y₂）=1，
∴y₁y₂-2（y₁+y₂）+3=0，則（kx₁+b）（kx₂+b）-2（kx₁+b+kx₂+b）+3=0，
k²x₁x₂+（kb-2k）（x₁+x₂）-4b+3=0，
∴k²•$\frac{^{2}-4}{{k}^{2}+1}$+（kb-2k）•（-$\frac{2kb}{1+{k}^{2}}$）-4b+3=0．
化簡(jiǎn)得：化簡(jiǎn)得k²=b²-4b+3，即k²+1=（b-2）²，
∴$\frac{|b-2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=1$．
∵點(diǎn)P（0，2）到直線l：y=kx+b的距離d=$\frac{|-2+b|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，
∴存在一定圓M，方程是x²+（y-2）²=1，使得直線l與圓M相切．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的應(yīng)用，考查了直線與圓的位置關(guān)系，考查了定值的應(yīng)用問(wèn)題，綜合性強(qiáng)，屬難題．