Question

14．若等比數(shù)列{a_n}的公比q滿足|q|＜1，且a₂a₄=4，a₃+a₄=3，則$\lim_{n→∞}$（a₁+a₂+…+a_n）=16．

Answer 1

分析 由等比數(shù)列通項公式列出方程組，求出首項和公比，由此能求出$\lim_{n→∞}$（a₁+a₂+…+a_n）．

解答 解：∵等比數(shù)列{a_n}的公比q滿足|q|＜1，且a₂a₄=4，a₃+a₄=3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}q•{a}_{1}{q}^{3}=4}\\{{a}_{1}{q}^{2}+{a}_{1}{q}^{3}=3}\end{array}\right.$，
由|q|＜1，解得${a}_{1}=8，q=\frac{1}{2}$，
a₁+a₂+…+a_n=$\frac{8（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$，
則$\lim_{n→∞}$（a₁+a₂+…+a_n）=$\underset{lim}{n→∞}\frac{8（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=16．
故答案為：16．

點評 本題考查等比數(shù)列的前n項和的極限值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等比數(shù)列的性質的合理運用．