Question

18．若不等式x²-|2x-a|+2≥0對(duì)任意的x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-1，1]．

Answer 1

分析 根據(jù)不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象關(guān)系，利用判別式法結(jié)合數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可

解答 解：不等式x²-|2x-a|+2≥0對(duì)任意的x∈R恒成立，
不等式$\frac{1}{2}$（x²+2）≥|x-$\frac{a}{2}$|對(duì)任意的x∈R恒成立，
作出函數(shù)y=$\frac{1}{2}$（x²+2）和y=|x-$\frac{a}{2}$|的圖象，
若$\frac{a}{2}$≥0，
由圖象知當(dāng)y=$\frac{1}{2}$（x²+2）與y=|x-$\frac{a}{2}$|=$\frac{a}{2}$-x相切時(shí)，由$\frac{1}{2}$（x²+2）=$\frac{a}{2}$-x，
即x²+2=a-2x，即x²+2x+2-a=0，由判別式△=4-4（2-a）=0，
得4-8=-4a，解得a=1，此時(shí)y=|x-$\frac{a}{2}$|的零點(diǎn)為$\frac{1}{2}$
若$\frac{a}{2}$＜0，
由圖象知當(dāng)y=$\frac{1}{2}$（x²+2）與y=|x-$\frac{a}{2}$|=x-$\frac{a}{2}$相切時(shí)，由$\frac{1}{2}$（x²+2）=x-$\frac{a}{2}$，
即x²+2=2x-a，即x²+2x+2+a=0，由判別式△=4-4（2+a）=0，
得4-8=4a，解得a=-1，此時(shí)y=|x-$\frac{a}{2}$|的零點(diǎn)為-$\frac{1}{2}$，
要使$\frac{1}{2}$（x²+2）≥|x-$\frac{a}{2}$|對(duì)任意的x∈R恒成立，
則-$\frac{1}{2}$≤$\frac{a}{2}$≤$\frac{1}{2}$，
則-1≤a≤1，
故答案為：[-1，1]

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式恒成立問題，利用轉(zhuǎn)化法結(jié)合數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．