Question

【題目】已知函數(shù)

(1) 求函數(shù)的反函數(shù)；

(2)試問:函數(shù)的圖象上是否存在關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的點(diǎn)，若存在，求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；

(3)若方程的三個(gè)實(shí)數(shù)根滿足: ，且，求實(shí)數(shù)的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱；（3）.

【解析】試題分析：(1)根據(jù)分段函數(shù)的反函數(shù)的求法求出函數(shù)的反函數(shù)；

(2)設(shè)點(diǎn)是函數(shù)圖象上關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)，

則，即， 解方程求出，即可說明：函數(shù)圖象上存在兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱.

(3) 根據(jù)函數(shù)與函數(shù)的圖象，可得

當(dāng)時(shí)，，且.；

當(dāng)時(shí)， ，于是，.

由，解得.，滿足條件.因此，所求實(shí)數(shù).

試題解析：(1)

當(dāng)時(shí)，.

由，得，互換，可得.

當(dāng)時(shí)，.

由，得，互換，可得.

(2) 答：函數(shù)圖象上存在兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱.

設(shè)點(diǎn)是函數(shù)圖象上關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)，

則，即，

解得舍去），且滿足 .

因此，函數(shù)圖象上存在點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱.

(3) 考察函數(shù)與函數(shù)的圖象，可得

當(dāng)時(shí)，有，原方程可化為，解得

，且由，得.

當(dāng)時(shí)，有，原方程可化為，化簡得

，解得(當(dāng)時(shí)，).

于是，.

由，得，解得.

因?yàn)?/span>，故不符合題意，舍去；

，滿足條件.因此，所求實(shí)數(shù).