Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＞b＞c）圖象上兩點(diǎn)A（m₁，f（m₁））、B（m₂，f（m₂）），且f（x）滿足f（1）=0，a²+［f（m₁）+f（m₂）］·a+f（m₁）·f（m₂）=0，

（1）求證：b≥0；

（2）求證：f（x）的圖象被x軸所截得的線段長的取值范圍是［2，3）.

（3）能否得出f（m₁+3）、f（m₂+3）中至少有一個為正數(shù)？請證明你的結(jié)論.

Answer 1

（1）證明：∵f（m₁）、f（m₂）滿足a²+［f（m₁）+f（m₂）］a+f（m₁）f（m₂）=0，即［a+f（m₁）］［a+f（m₂）］=0，∴f（m₁）=-a或f（m₂）=-a.

又∵m₁或m₂是f（x）=-a的一個實(shí)根，

∴Δ≥0，即b²+4ab≥0，b（b+4a）≥0.

又∵a＞b＞c，

∴a＞0，c＜0.

∴3a-c＞0.

∴b+4a=3a-c＞0.

∴b≥0.

（2）證明：設(shè)ax²+bx+c=0的兩根為x₁、x₂，則一個根為1，另一個根為.

∵a＞0，c＜0，

∴＜0.

∵a＞b＞c且b=-a-c≥0，

∴a＞-a-c＞c.

∴-2＜≤-1，2≤|x₁-x₂|＜3.

（3）解：設(shè)f（x）=a（x-x₁）（x-x₂）

=a（x-1）（x-）.

由已知f（m₁）=-a或f（m₂）=-a，不妨設(shè)f（m₁）=-a，則（m₁-1）（m₁-）=-a＜0.

∴＜m₁＜1.

 

∴m₁+3＞+3＞1.

∴f（m₁+3）＞f（1）=0.

∴f（m₁+3）＞0.

同理，當(dāng)f（m₂）=-a時(shí)，有f（m₂+3）＞0，因此f（m₂+3）或f（m₁+3）中至少有一個為正數(shù).