Question

已知z₁，z₂是復數，定義復數的一種運算“?”為：z₁?z₂=

z1z2(|z1|＞|z2|) z1+z2(|z1|≤|z2|)

，若z₁=2+i且z₁?z₂=3+4i，則復數z₂=

 

．

Answer 1

考點：復數代數形式的混合運算

專題：數系的擴充和復數

分析：利用新定義化簡復數，利用復數相等，求出復數z₂即可．

解答： 解：∵z₁，z₂是復數，定義復數的一種運算“?”為：z₁?z₂=

z1z2(|z1|＞|z2|) z1+z2(|z1|≤|z2|)

，
∴當|z₁|＞|z₂|時，z₁=2+i且z₁?z₂=3+4i，
設：z₂=a+bi，z₁?z₂=（2+i）（a+bi）=3+4i，即（2a-b）+（a+2b）i=3+4i，

2a-b=3 a+2b=4

，

a=2 b=1

，z₂=2+i，不滿足|z₁|＞|z₂|，舍去．
當|z₁|≤|z₂|，z₁=2+i且z₁?z₂=3+4i，
設：z₂=a+bi，z₁?z₂=（2+i）+（a+bi）=3+4i，即（2+a）+（1+b）i=3+4i，
∴a=1，b=3，z₂=1+3i，滿足題意．
故答案為：1+3i．

點評：本題考查復數的基本運算，復數相等的充要條件的應用，考查計算能力．