Question

已知函數(shù)，
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在上的值域；
（Ⅱ）在△ABC中，已知A為銳角，f（A）=1，BC=2，S_△ABC=1，求AC邊的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）把函數(shù)解析式第一項(xiàng)的第一個(gè)因式利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，第二個(gè)因式利用余弦函數(shù)為偶函數(shù)化簡(jiǎn)，第二項(xiàng)把cos³分為cos•cos²，利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)后，后兩項(xiàng)提取sinx，再利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，然后再利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，提取后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由x的范圍求出這個(gè)角的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得出正弦函數(shù)的值域，進(jìn)而確定出函數(shù)的值域；
（Ⅱ）由第一問(wèn)確定的函數(shù)f（x）的解析式，根據(jù)f（A）=1，整理后利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出tanA的值，再利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù)，
解答：解：（Ⅰ）f（x）=sin（+x）cos（-x）+4sincos³-sinx，
=cos²x+2•2sincos•cos²-sinx
=cos²x+sinx（2cos²-1）
=cos²x+sinxcosx
=（cos2x+sin2x）+
=sin（2x+）+，
∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，
∴f（x）的值域是[0，]；
（Ⅱ）∵f（A）=cos²A+sinAcosA=1，
∴sinAcosA=1-cos²A=sin²A，
∴sinA=cosA，
∴A=，
∵BC=a=2，
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得：b²+c²-bc=4①，
又S_△ABC=bcsinA=bc=1，∴bc=2②，
聯(lián)立①②解得：b=，
則AC=b=．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，三角形的面積公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及三角函數(shù)的恒等變形，涉及的公式有：誘導(dǎo)公式，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．