Question

13．設(shè)m＞1，在約束條件$\left\{\begin{array}{l}{y≥x}\\{y≤mx}\\{x+y≤1}\end{array}\right.$下，目標(biāo)函數(shù)z=x+my取得最大值z（m）的實數(shù)對（x，y）=（$\frac{1}{m+1}$，$\frac{m}{m+1}$）；而當(dāng)m變化時，z（m）的取值范圍是（1，+∞）．

Answer 1

分析 根據(jù)m＞1，可以判斷直線y=mx的傾斜角位于區(qū)間（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）上，由此判斷出滿足約束條件的平面區(qū)域的形狀，再根據(jù)目標(biāo)函數(shù)z=x+my對應(yīng)的直線與直線y=mx垂直，且在直線y=mx與直線x+y=1交點處取得最大值，由此可得關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求出m的范圍．

解答 解：∵m＞1，由約束條件，作出可行域如圖，

直線y=mx與直線x+y=1交于（$\frac{1}{m+1}$，$\frac{m}{m+1}$），
目標(biāo)函數(shù)z=x+my對應(yīng)的直線與直線y=mx垂直，且在（$\frac{1}{m+1}$，$\frac{m}{m+1}$）處取得最大值，
∴Z（m）=$\frac{1{+m}^{2}}{1+m}$，則z′（m）=$\frac{{（m+1）}^{2}-2}{{（m+1）}^{2}}$，
∵m＞1，∴z′（m）＞0，
∴函數(shù)z（m）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴z（m）_最小值＞z（1）=1，
故答案為：（$\frac{1}{m+1}$，$\frac{m}{m+1}$），（1，+∞）．

點評 題考查的知識點是簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用，其中根據(jù)平面直線方程判斷出目標(biāo)函數(shù)z=x+my對應(yīng)的直線與直線y=mx垂直，且在（$\frac{1}{m+1}$，$\frac{m}{m+1}$）點取得最大值，并由此列出關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式是解答本題的關(guān)鍵，是中檔題．