Question

已知矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，E為CD的中點，沿AE將三角形AED折起，使DB＝2如圖，O、H分別為AE、AB的中點．

(1)求證：直線OH//面BDE；

(2)求證：面ADE⊥面ABCE；

(3)求二面角O－DH一E的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明∵O、H分別為AE、AB的中點 　　∴OH//BE，又OH不在面BDE內 　　∴直線OH//面BDE　　4分 　　(2)O為AE的中點AD＝DE，∴DQAE 　　∵DO＝，DB＝2，BO2＝32＋12＝10∴∴ 　　又因為AE和BO是相交直線所以，DO面ABCE，又OD在面ADE內 　　∴面ADE面ABCE　　8分 　　(3)由(1)(2)知OA、OH、OD兩兩垂直，分別以OA、OH、OD為x、y、z軸建立空間坐 　　標系，則A(，0，0)，H(0，，0)，E(－，0，0)，D(0，0，)， 　　向量　　10分 　　設平面DHE的法向量為n＝(x，y，z) 　　則n·＝0n·＝0 　　即y＝z，x＝－z 　　∴平面DHE的法向量為n＝(z，－z，z)，不妨沒z＞0　　12分 　　又是平面DOH的法向量 　　 　　由圖面角O－DH－E為銳角，所以，二面角O－DH－E的余弦值為　　14分