Question

2．北京時(shí)間3月4日，CBA半決賽第四場，遼寧男籃客場戰(zhàn)勝廣東，總比分3：1淘汰對手緊急總決賽，遼寧與四川會(huì)師決賽，總決賽3月11日開打，采用7局4勝制（若某隊(duì)取勝四場，則終止比賽，并獲得本賽季冠軍）采用2-3-2的賽程，由于遼寧常規(guī)賽占優(yōu)，決賽時(shí)擁有主場優(yōu)勢（遼寧先兩個(gè)主場，然后三個(gè)客場，再兩個(gè)主場）以下是總決賽賽程：

日期	比賽隊(duì)	主場	客場	比賽時(shí)間	比賽地點(diǎn)
3月11日	遼寧-四川	遼寧	四川	19：35	本溪
3月13日	遼寧-四川	遼寧	四川	19：35	本溪
3月16日	四川-遼寧	四川	遼寧	19：35	成都
3月18日	四川-遼寧	四川	遼寧	19：35	成都
3月20日	四川-遼寧	四川	遼寧	19：35	成都
3月23日	遼寧-四川	遼寧	四川	19：35	本溪
3月25日	遼寧-四川	遼寧	四川	19：35	本溪

（1）若考慮主場優(yōu)勢，每個(gè)隊(duì)主場獲勝的概率均為$\frac{2}{3}$，客場取勝的概率均為$\frac{1}{3}$，求遼寧隊(duì)以比分4：1獲勝的概率；
（2）若不考慮主場優(yōu)勢，每個(gè)隊(duì)每場比賽獲勝的概率均為$\frac{1}{2}$設(shè)本次決賽的比賽場數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）設(shè)“遼寧隊(duì)以比分4：1獲勝”為事件A，“第i場比賽取勝”記作事件Ai，由P（A）=P（$\overline{{A}_{1}}$A₂A₃A₄A₅）+P（A₁$\overline{{A}_{2}}$A₃A₄A₅）+P（A₁A₂$\overline{{A}_{3}}$A₄A₅）+P（A₁A₂A₃$\overline{{A}_{4}}$A₅），能求出遼寧隊(duì)以比分4：1獲勝的概率．
（2）X的所有可能取值為4，5，6，7，分別求機(jī)相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 （本小題滿分12分）
（1）設(shè)“遼寧隊(duì)以比分4：1獲勝”為事件A，“第i場比賽取勝”記作事件Ai，
由賽程表可知：
P（A₁）=P（A₂）=$\frac{2}{3}$，P（A₃）=P（A₄）=P（A₅）=$\frac{1}{3}$
則P（A）=P（$\overline{{A}_{1}}$A₂A₃A₄A₅）+P（A₁$\overline{{A}_{2}}$A₃A₄A₅）+P（A₁A₂$\overline{{A}_{3}}$A₄A₅）+P（A₁A₂A₃$\overline{{A}_{4}}$A₅）
=$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{3}$×（$\frac{1}{3}$）³+$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{3}$）³+$\frac{2}{3}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{2}{3}$×（$\frac{1}{3}$）²+$\frac{2}{3}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{20}{243}$．
（或P（A）=${C}_{2}^{1}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{3}$×（$\frac{1}{3}$）²×$\frac{1}{3}$+（$\frac{2}{3}$）²×${C}_{2}^{1}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{20}{243}$）…（6分）
（2）X的所有可能取值為4，5，6，7
設(shè)“遼寧隊(duì)以4：0取勝”為事件A₄，“四川隊(duì)以4：0取勝”為事件B₄；
“遼寧隊(duì)以4：1取勝”為事件A₅，“四川隊(duì)以4：1取勝”為事件B₅；
“遼寧隊(duì)以4：2取勝”為事件A₆，“四川隊(duì)以4：2取勝”為事件B₆；
“遼寧隊(duì)以4：3取勝”為事件A₇，“四川隊(duì)以4：3取勝”為事件B₇；
則P（X=4）=P（A₄）+P（B₄）=2×（$\frac{1}{2}$）⁴=$\frac{1}{8}$
P（X=5）=P（A₅）+P（B₅）=2×${C}_{4}^{1}$×$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2}$）⁴=$\frac{1}{4}$
P（X=6）=P（A₆）+P（B₆）=2×${C}_{5}^{2}$×（$\frac{1}{2}$）²×（$\frac{1}{2}$）⁴=$\frac{5}{16}$
P（X=7）=P（A₇）+P（B₇）=2×${C}_{6}^{3}$×（$\frac{1}{2}$）³×（$\frac{1}{2}$）⁴=$\frac{5}{16}$
∴X的分布列為：

X	4	5	6	7
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{5}{16}$	$\frac{5}{16}$

∴EX=4×$\frac{1}{8}$+5×$\frac{1}{4}$+6×$\frac{5}{16}$+7×$\frac{5}{16}$=$\frac{93}{16}$…（12分）

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立事件概率乘法公式的合理運(yùn)用．