Question

9．已知兩個(gè)非零平面向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$滿足：對(duì)任意λ∈R恒有$|{\overrightarrow a-λ\overrightarrow b}|≥|{\overrightarrow a-\frac{1}{2}\overrightarrow b}|$，則：①若$|{\overrightarrow b}|=4$，則$\overrightarrow a•\overrightarrow b$=8；②若$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夾角為$\frac{π}{3}$，則$\frac{{|{2\overrightarrow a-t•\overrightarrow b}|}}{{|{\overrightarrow b}|}}$的最小值為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 ①可對(duì)不等式$|\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow|≥|\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow|$兩邊平方，然后根據(jù)$|\overrightarrow|=4$便可化簡(jiǎn)成$16{λ}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrowλ+\overrightarrow{a}•\overrightarrow-4≥0$，該不等式對(duì)于任意的λ∈R恒成立，從而有△=$4（\overrightarrow{a}•\overrightarrow）^{2}-64（\overrightarrow{a}•\overrightarrow-4）$≤0，對(duì)該不等式進(jìn)行化簡(jiǎn)便可得到$（\overrightarrow{a}•\overrightarrow-8）^{2}≤0$，從而求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$的值；
②同樣對(duì)不等式$|\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow|≥|\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow|$的兩邊分別平方，根據(jù)條件$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{3}$，對(duì)平方后的式子進(jìn)行化簡(jiǎn)便可得到$|\overrightarrow|{λ}^{2}-|\overrightarrow{a}|λ+\frac{1}{2}|\overrightarrow{a}|-\frac{1}{4}|\overrightarrow|≥0$，該不等式對(duì)于任意λ∈R恒成立，從而有△≤0，這樣可以得到$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow|$，然后可以求出$（\frac{|2\overrightarrow{a}-t\overrightarrow|}{|\overrightarrow|}）^{2}={t}^{2}-2t+4$，配方即可求出$（\frac{|2\overrightarrow{a}-t\overrightarrow|}{|\overrightarrow|}）^{2}$的最小值，從而便可求出$\frac{|2\overrightarrow{a}-t•\overrightarrow|}{|\overrightarrow|}$的最小值．

解答 解：①由$|\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow|≥|\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow|$得，$（\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow）^{2}≥（\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow）^{2}$①；
∵$|\overrightarrow|=4$，∴上式整理可得，-2$λ\overrightarrow{a}•\overrightarrow+16{λ}^{2}≥-\overrightarrow{a}•\overrightarrow+4$；
∴不等式$16{λ}^{2}-2λ\overrightarrow{a}•\overrightarrow+\overrightarrow{a}•\overrightarrow-4≥0$對(duì)任意的λ∈R恒成立；
∴$△=4（\overrightarrow{a}•{\overrightarrow）}^{2}-64（\overrightarrow{a}•\overrightarrow-4）≤0$；
∴$（\overrightarrow{a}•\overrightarrow）^{2}-16\overrightarrow{a}•\overrightarrow+64=（\overrightarrow{a}•\overrightarrow-8）^{2}≤0$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow-8=0$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=8$；
②由①整理得：$-2λ\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{λ}^{2}{\overrightarrow}^{2}≥-\overrightarrow{a}•\overrightarrow+\frac{1}{4}{\overrightarrow}^{2}$②；
∵$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$夾角為$\frac{π}{3}$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=\frac{1}{2}|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|$，帶入②并整理得：
${|\overrightarrow|}^{2}{λ}^{2}-|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|λ+\frac{1}{2}|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|-\frac{1}{4}|\overrightarrow{|}^{2}≥0$，|$\overrightarrow$|≠0，該不等式對(duì)任意λ∈R恒成立；
∴$△=（|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|）^{2}-4|\overrightarrow{|}^{2}（\frac{1}{2}|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|-\frac{1}{4}|\overrightarrow{|}^{2}）≤0$；
∴$|\overrightarrow{a}{|}^{2}-2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|+|\overrightarrow{|}^{2}=（|\overrightarrow{a}|-|\overrightarrow|）^{2}≤0$；
∴$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow|$；
∴$（\frac{|2\overrightarrow{a}-t•\overrightarrow|}{|\overrightarrow|}）^{2}=\frac{4{\overrightarrow{a}}^{2}-4t\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{t}^{2}{\overrightarrow}^{2}}{{\overrightarrow}^{2}}$=$\frac{4{\overrightarrow{a}}^{2}-2t|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|+{t}^{2}{\overrightarrow}^{2}}{{\overrightarrow}^{2}}$=$\frac{4{\overrightarrow{a}}^{2}-2t{\overrightarrow{a}}^{2}+{t}^{2}{\overrightarrow{a}}^{2}}{{\overrightarrow{a}}^{2}}={t}^{2}-2t+4$=（t-1）²+3≥3；
∴$\frac{|2\overrightarrow{a}-t\overrightarrow|}{|\overrightarrow|}$的最小值為$\sqrt{3}$．
故答案為：8，$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 考查數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，一元二次不等式恒成立時(shí)判別式△的取值情況，以及完全平方式的運(yùn)用，配方求二次函數(shù)的最值．