Question

7．當(dāng)x∈$[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}]$時(shí)，求函數(shù)y=3-sinx-2cos²x的最小值和最大值．

Answer 1

分析 利用三角函數(shù)的平方關(guān)系式，結(jié)合換元法，通過(guò)二次函數(shù)的閉區(qū)間的最值求解即可．

解答 解：y=3-sinx-2cos²x=3-sinx-2（1-sin²x）=2sin²x-sinx+1．…（3分）
令sin x=t，x∈$[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}]$，t∈[-$\frac{1}{2}$，1]，…（6分）
則原函數(shù)可化為y=2t²-t+1，t∈[-$\frac{1}{2}$，1]．…（8分）
當(dāng)t=$\frac{1}{4}$時(shí)，y_min=$\frac{7}{8}$；  …（10分）
當(dāng)t=-$\frac{1}{2}$或t=1時(shí)，y_max=2．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，三角函數(shù)的最值的求法，保護(hù)費(fèi)以及二次函數(shù)的最值的求法，考查計(jì)算能力．