Question

已知復數(shù)z=a+bi（a，b∈R），若

z

=

2+4i

k

-3aki（k∈R），求：
（1）2a+b的值；
（2）|z-i|+|z+i|的最小值．

Answer 1

考點：復數(shù)求模

專題：數(shù)系的擴充和復數(shù)

分析：（1）利用復數(shù)的運算法則、共軛復數(shù)的定義、復數(shù)相等即可得出．
（2）利用復數(shù)的幾何意義、軸對稱即可得出．

解答： 解：（1）∵復數(shù)z=a+bi（a，b∈R），

z

=

2+4i

k

-3aki（k∈R），
∴a-bi=

2

k

+(

4

k

-3ak)i，
∴a=

2

k

，-b=

4

k

-3ak，
解得a=

2

k

，b=6-

4

k

．
∴2a+b=

4

k

+6-

4

k

=6．
（2）∵2a+b=6，
∴b=-2a+6，
設點P（0，1）關于直線y=-2x+6的對稱點為P′（x，y），
則

y-1 x ×(-2)=-1 2× x 2 + 1+y 2 -6=0

，解得

x=4 y=3

，
∴P′（4，3）．
Q（0，-1）．
|z-i|+|z+i|≥|P′Q|=

42+42

=4

2

，
其最小值為4

2

．

點評：本題考查了復數(shù)的運算法則、共軛復數(shù)的定義、復數(shù)相等、復數(shù)的幾何意義、軸對稱，考查了計算能力，屬于中檔題．