Question

14．如圖，A，B是單位圓O上的動(dòng)點(diǎn)，C是圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，設(shè)∠COA=α．
（1）當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為$（\frac{3}{5}，\frac{4}{5}）$時(shí)，求$\frac{cos2α}{1+sin2α}$的值．
（2）若0≤α≤$\frac{π}{3}$，且當(dāng)點(diǎn)A，B在圓上沿逆時(shí)針方向移動(dòng)時(shí)，總有∠AOB=$\frac{π}{3}$，試求BC的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形函數(shù)線以及點(diǎn)A的坐標(biāo)，求出sinα=$\frac{4}{5}$，cosα=$\frac{3}{5}$，再根據(jù)二倍角公式，分別求出cos2α，sin2α，代入計(jì)算即可；
（2）先表示出點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)與點(diǎn)的距離公式，根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出，BC的取值范圍．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為$（\frac{3}{5}，\frac{4}{5}）$，$\frac{4}{5}$
∴sinα=$\frac{4}{5}$，cosα=$\frac{3}{5}$，
∴cos2α=2cos²α-1=-$\frac{7}{25}$，sin2α=2sinαcosα=$\frac{24}{25}$，
∴$\frac{cos2α}{1+sin2α}$=$\frac{-\frac{7}{25}}{1+\frac{24}{25}}$=-$\frac{1}{7}$
（2）∵B（cos（α+$\frac{π}{3}$），sin（α+$\frac{π}{3}$）），C（1，0），
∴|BC|²=[cos（α+$\frac{π}{3}$）-1]²+sin²（α+$\frac{π}{3}$）=2-2cos（α+$\frac{π}{3}$），
∵0≤α≤$\frac{π}{3}$，
∴$\frac{π}{3}$≤α+$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$，
∴-$\frac{1}{2}$≤cos（α+$\frac{π}{3}$）≤$\frac{1}{2}$，
∴1≤2-2cos（α+$\frac{π}{3}$）≤3，
∴1≤|BC|≤$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)線的問題，二倍角的問題，以及點(diǎn)與點(diǎn)的距離公式和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．