Question

如圖，在△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AC⊥平面BCD，∠ADC=45°,E是線段AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

(1)確定點(diǎn)F的位置，使平面ABD⊥平面BEF；

(2)當(dāng)平面ABD⊥平面BEF時(shí)，求直線DB與EF所成的角．

Answer 1

解法一：(1)由已知可得AB=AD=BD=．又AE=ED，則BE⊥AD．

       由平面ABD⊥平面BEF得AD⊥平面BEF，

故AD⊥EF，即F應(yīng)為過點(diǎn)E的AD的垂線和AC的交點(diǎn)．

       由AC=CD知點(diǎn)F即為點(diǎn)C．

       (2)由(1)知EF和BD所成的角即為EC與BD所成的角，

延長(zhǎng)AC至G，使得CG=AC，連DG，則∠BDG即為CE與BD所成的角，

在△BDG中，BD=DG=BG，所以∠BDG=60°，即直線EF與直線BD所成的角為60°．

       解法二：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則C(0，0，0)，

       B(1，0，0)，D(0，1，0)，A(0，0，1)，E(0，，)

       設(shè)F(0，0，)，則=(0，一，，一)，

       又=(－1，，)．

       設(shè)n=(，，)是平面BEF的一個(gè)法向量，

       則，即

       令=1，則n=(2，4一1，1)．

又m=(1，1，1)是平面ABD的一個(gè)法向量，要使平面ABD⊥平面BEF．

當(dāng)且僅當(dāng)m⊥n，即m?n=0，解得=0．

∴F(0，0，0)，即為點(diǎn)C．

(2)，．

∴<>=．

∴直線EF與直線BD所成的角為60°．