Question

設(shè)向量

a

=（a₁，a₂），

b

=（b₁，b₂），定義一種向量積：

a

?

b

=（a₁，a₂）?（b₁，b₂）=（a₁b₁，a₂b₂）．已知向量

m

=（

1

2

，4），

n

=（

π

6

，0），點(diǎn)P在y=cosx的圖象上運(yùn)動，點(diǎn)Q在y=f（x）的圖象上運(yùn)動，且滿足

OQ

=

m

?

OP

+

n

（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則y=f（x）在區(qū)間[

π

6

，

π

3

]上的最大值是（　　）

• A、4
• B、2
• C、2

  2

• D、2

  3

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：設(shè)

OP

=（x₀，y₀），

OQ

=（x，y），由題意可得y₀=cosx₀，再把

OQ

=（x，y）=

m

?

OP

+

n

，化簡為（

1

2

x0+

π

6

，4y₀），可得x₀=2x-

π

3

，y₀=

1

4

y．故有y=4cos（2x-

π

3

），再根據(jù)余弦函數(shù)的定i義域和值域求得y=f（x）在區(qū)間[

π

6

，

π

3

]上的最大值．

解答：解：設(shè)

OP

=（x₀，y₀），

OQ

=（x，y），由題意可得y₀=cosx₀，

OQ

=（x，y）=

m

?

OP

+

n

=(

1

2

 ，4)?(x0 ，y0)+（

π

6

，0）
=（

1

2

x0，4y₀）+（

π

6

，0）=（

1

2

x0+

π

6

，4y₀），
即 x=

1

2

x0+

π

6

，y=4y₀； 即x₀=2x-

π

3

，y₀=

1

4

y．
∴

1

4

y=cos（2x-

π

3

），y=4cos（2x-

π

3

）．
∵點(diǎn)Q在y=f（x）的圖象上運(yùn)動，∴f（x）=4cos（2x-

π

3

）．
當(dāng)

π

6

≤x≤

π

3

時，0≤2x-

π

3

≤

π

3

，∴當(dāng)2x-

π

3

=0時，f（x）取得最大值為4，
故選：A．

點(diǎn)評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的運(yùn)算，余弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．