Question

17．已知關(guān)于x的方程2sin²x-cos²x+2sinx+m=0有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 將原方程可化為m=-3（sinx+$\frac{1}{3}$）²+$\frac{4}{3}$，再由-1≤sinx≤1，求得y=-3（sinx+$\frac{1}{3}$）²+$\frac{4}{3}$的值域，從而求得實(shí)數(shù)m范圍．

解答 解：∵m=-2sin²x+cos²x-2sinx=-3（sinx+$\frac{1}{3}$）²+$\frac{4}{3}$，
∵sinx∈[-1，1]，
∴函數(shù)y=-3（sinx+$\frac{1}{3}$）²+$\frac{4}{3}$的值域是[-4，$\frac{4}{3}$]，
∵方程2sin²x-cos²x+2sinx+m=0有實(shí)數(shù)解，
∴m∈[-4，$\frac{4}{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查方程根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域求解，還涉及了三角函數(shù)，二次函數(shù)值域的求法，考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．