Question

5．已知f（x）=$\frac{2x-m}{{x}^{2}+1}$定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，把方程f（x）=$\frac{1}{x}$稱為函數(shù)f（x）的特征方程，特征方程的兩個(gè)實(shí)根α、β（α＜β）稱為f（x）的特征根．
（1）討論函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由；
（2）把函數(shù)y=f（x），x∈[α，β]的最大值記作maxf（x）、最小值記作minf（x），令g（m）=maxf（x）-minf（x），若g（m）≤λ$\sqrt{{m}^{2}+1}$恒成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可討論函數(shù)的奇偶性；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義先判斷函數(shù)的單調(diào)性，將不等式恒成立進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用參數(shù)分離法即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$，此時(shí)f（-x）=-f（x），函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
當(dāng)m≠0時(shí)，函數(shù)f（x）為非奇非偶函數(shù)．
（2）證明f（x）是增函數(shù)
f（x₂）-f（x₁）=$\frac{2{x}_{2}-m}{{{x}_{2}}^{2}+1}-\frac{2{x}_{1}-m}{{{x}_{1}}^{2}+1}$=$\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）[m（{x}_{1}+{x}_{2}）-2{x}_{1}{x}_{2}+2]}{（{{x}_{1}}^{2}+1）（{{x}_{2}}^{2}+1）}$，
∵α＜x₁＜x₂＜β，
∴${{x}_{1}}^{2}-m{x}_{1}-1＜0$，${{x}_{2}}^{2}-m{x}_{2}-1＜0$，
則${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}-$m（x₁+x₂）-2＜0，
2x₁x₂＜x₁²+x₂²，∴2x₁x₂＜x₁²+x₂²＜m（x₁+x₂）+2，
即2x₁x₂-m（x₁+x₂）-2＜0，
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，
即f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
故函數(shù)f（x）在（α，β）是遞增的，
則$\sqrt{{m}^{2}+4}≤λ\sqrt{{m}^{2}+1}$恒成立，
∴λ≥$\sqrt{\frac{{m}^{2}+4}{{m}^{2}+1}}=\sqrt{1+\frac{3}{{m}^{2}+1}}$，
∵$\sqrt{1+\frac{3}{{m}^{2}+1}}≤\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2$，
∴λ≥2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷以及函數(shù)最值的求解，利用條件判斷函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．