Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，S_n示該數(shù)列的前n項(xiàng)和．若已知a_n=2S_n-1（n∈N^*，n≥2）
（1）求證：數(shù)列{S_n}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)a_n=S_n-S_n-1，根據(jù)a_n=2S_n-1，可求得

Sn

Sn-1

=3進(jìn)而判斷出數(shù)列{S_n}是等比數(shù)列．
（2）由（1）可根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得S_n，進(jìn)而根據(jù)a_n=2S_n-1，求得a_n，進(jìn)而看當(dāng)n=1時(shí)不符合上式，最后綜合可得．答案．

解答：解（1）∵a_n=2S_n-1（n∈N⁺，且n≥2）
∴S_n-S_n-1=2S_n-1，∴

Sn

Sn-1

=3
∴數(shù)列{S_n}是以S₁=a₁=1為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列
（2）由（1）知，S_n=3^n-1當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=2S_n-1=2×3^n-2
∵當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1不適合上式，
∴數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式為an=

1 (n=1) 2×3n-2 (n≥2)

點(diǎn)評：本題主要考查了等比關(guān)系的確定．對于求得n≥2時(shí)的通項(xiàng)公式，最后對a₁一定要進(jìn)行驗(yàn)證．