Question

已知函數(shù)f（x）=|x|-1，關(guān)于x的方程f²（x）-|f（x）|+k=0，給出下列四個命題：
①存在實數(shù)k，使得方程恰有2個不同的實根；
②存在實數(shù)k，使得方程恰有3個不同的實根；
③存在實數(shù)k，使得方程恰有5個不同的實根；
④存在實數(shù)k，使得方程恰有8個不同的實根．
其中真命題的序號為

①③④

．

Answer 1

分析：利用換元法設(shè)t=|x|-1，將方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次方程t²-|t|+k=0去求解．

解答：解：設(shè)t=|x|-1，則t≥-1，當t=-1時，x=0當t＞-1時，x有兩解．
則原方程等價為t²-|t|+k=0，即k=-t²+|t|=-（|t|-

1

2

）²+

1

4

．
由圖象可知，（1）當k＜0時，t＞1，此時方程恰有2個不同的實根；
（2）當k=0時，t=1或t=0或t=-1，
當t=1時，x有兩個不同的解，
當t=0時，x有兩個不同的解，
當t=-1時，x只有一個解，所以此時共有5個不同的解．
（3）當0＜k＜

1

2

時，-1＜t＜-

1

2

或-

1

2

＜t＜0或0＜t＜

1

2

或

1

2

＜t＜1，此時對應(yīng)著8個解．
（4）當k=

1

4

時，t=-

1

2

或t=

1

2

．此時每個t對應(yīng)著兩個x，所以此時共有4個解．
綜上正確的是①③④．
故答案為：①③④．

點評：本題主要考查了與二次函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的根的情況，利用換元法和數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．