Question

8．如圖，在直角坐標系xOy中，點P（1，2）到拋物線E：y²=2px（p＞0）的焦點的距離為$\sqrt{5}$，過拋物線E的焦點F作兩條相互垂直的直線分別交拋物線于A，B，C，D四點．
（1）求拋物線C的方程；
（2）求四邊形ACBD面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線的定義直接求拋物線C的方程；
（2）過焦點F作兩條相互垂直的直線，設(shè)AB：x=my+$\sqrt{5}$-1，CD：x=-$\frac{1}{m}$y+$\sqrt{5}$-1（m≠0），聯(lián)立直線與拋物線方程組成方程組，利用弦長公式，求出|AB|，|CD|，推出四邊形ACBD的面積的表達式，利用基本不等式求四邊形ACBD面積的最小值．

解答 解：（1）∵直角坐標系xOy中，點P（1，2）到拋物線E：y²=2px（p＞0）的焦點的距離為$\sqrt{5}$，
∴（1-$\frac{p}{2}$）²+（2-0）²=5，
∴p=4，
∴拋物線C的方程為y²=8x；
（2）由（1）知：F（2，0）
設(shè)AB：x=my+2，CD：x=-$\frac{1}{m}$y+2（m≠0）
由AB方程與拋物線的方程得：y²-8my-16=0
∴|AB|=8（1+m²）
同理：|CD|=8（1+$\frac{1}{{m}^{2}}$）．
∴四邊形ACBD的面積：S=$\frac{1}{2}|AB||CD|$=32（1+m²）（1+$\frac{1}{{m}^{2}}$）=32（2+m²+$\frac{1}{{m}^{2}}$）≥128．
（當(dāng)且僅當(dāng)m²=$\frac{1}{{m}^{2}}$即：m=±1時等號成立）
∴四邊形ACBD的面積的最小值為128．

點評 本題考查拋物線的標準方程的求法，直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，四邊形面積的最值以及基本不等式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．