Question

函數(shù)f（x）=

x2-2x+4

x

（x＞0）的值域是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：方法一，利用基本不等式求出函數(shù)的最小值，從而求出函數(shù)的值域；
方法二，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，從而求出函數(shù)值域．

解答： 解：方法一，函數(shù)f（x）=

x2-2x+4

x

=x+

4

x

-2，
當(dāng)x＞0時(shí)，x+

4

x

-2≥2

x• 4 x

-2=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)“=”成立，
∴f（x）的值域是[2，+∞）；
方法二，函數(shù)f（x）=

x2-2x+4

x

=x+

4

x

-2，
∵f′（x）=1-

4

x2

=

x2-4

x2

=

(x-2)(x+2)

x2

，
當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）在（0，2]上小于0，在[2，+∞）上大于0，
∴f（x）在（0，2]上是減函數(shù)，在[2，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（2）=2；
∴f（x）的值域是[2，+∞）；
故答案為：[2，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查了利用基本不等式或?qū)��?shù)的性質(zhì)求函數(shù)的最值，從而求出函數(shù)值域的問題，是基礎(chǔ)題．