Question

（本題滿分12分）

某班一信息奧賽同學(xué)編了下列運(yùn)算程序，將數(shù)據(jù)輸入滿足如下性質(zhì):

①輸入1時(shí)，輸出結(jié)果是；

②輸入整數(shù)時(shí)，輸出結(jié)果是將前一結(jié)果先乘以3n-5，再除以3n+1.

（1）   求f(2),f(3),f(4);

（2）  試由（1）推測(cè)f(n)（其中）的表達(dá)式，并給出證明.

 

Answer 1

【答案】

（1）;;.    

(2)猜想：（其中），以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：見(jiàn)解析。

【解析】本試題主要是考查了數(shù)列的歸納猜想思想的運(yùn)用，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法求證恒等式的綜合運(yùn)用。

（1）由題設(shè)條件知f(1)= ,=,對(duì)于n令值，然后得到前幾個(gè)值。

（2）猜想：（其中）并運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，運(yùn)用兩步來(lái)證明其成立。

解：由題設(shè)條件知f(1)= ,=,

;

;

.       ………………………………3分

(2)猜想：（其中）……………………5分

以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：

（1）   當(dāng)時(shí)，，

所以此時(shí)猜想成立。                ………………………………6分

（2）   假設(shè)時(shí)，成立

  那么時(shí)，

……………9分

所以時(shí)，猜想成立。

由（1）（2）知，猜想：（其中）成立。

…………………………12分