Question

 

Answer 1

解析：（1）在第3行中，由左向右的數(shù)字依次是：a ₁ = 6，a ₂ = 9 = a ₁ + 3，

a ₃ = 13 = a ₂ + 4，a ₄ = 18 = a ₃ + 5，…，歸納可證得：a _n = a _{n 1} + ( n + 1 )，

∴ a ₈ = a ₇ + 9 = a ₆ + 8 + 9 = … = a ₄ + 6 + 7 + 8 + 9 = 18 + 30 = 48；

（2）為求數(shù)字321在哪個方格內(nèi)，可將棋盤上的數(shù)字按從右上到左下的對角線方向排列如下：第1組 1；第2組 2，3；第3組 4，5，6；第4組 7，8，9，10；……，顯然，

從第1組到第n組共包含1 + 2 + 3 + … + n =個數(shù)字，故第n組中最大數(shù)字是。∵ 321是第321個數(shù)字，∴ 321所在“組”的行號是滿足：≥ 321的最小自然數(shù)n。試算，從= 300和= 325，可得n = 25。第25組中最小的數(shù)是數(shù)列 1，2，4，7，11，…，（即a _n = a _{n 1} + ( n 1 )）中的第25個數(shù)，記為a ₂₅。易知a ₂₅ = a ₂₄ + 24 = a ₂₃ + 23 + 24 = … = a ₁ + 1 + 2 + 3 + … + 24 = 301，因而321是第25組中第（321 301 + 1 ）個數(shù)，即第21個數(shù)。∴ 321位于第21行、第5列的方格內(nèi)；

（3）位于從左上角到右下角的對角線上的方格內(nèi)的數(shù)字組成的數(shù)列是 1，5，13，25，…不妨依次記為b ₁，b ₂，b ₃，…，易見，b _n是依（2）中排法的第2 n 1組的中間一個數(shù)，即第n個數(shù)，∴ b _n = ( n 1 ) = 2 n ( n 1 ) + 1 = 2 n ² 2 n + 1，n = 1，2，3，…；

（4）利用自然數(shù)平方和的公式：1 ² + 2 ² + 3 ² + … + n ² =，可以計算得S _n =

=2 k ² 2 k + 1 ) = 2² 2+ n = 2 × 2 ×+ n =。