Question

11．繼共享單車(chē)之后，又一種新型的出行方式------“共享汽車(chē)”也開(kāi)始亮相北上廣深等十余大中城市，一款叫“一度用車(chē)”的共享汽車(chē)在廣州提供的車(chē)型是“奇瑞eQ”，每次租車(chē)收費(fèi)按行駛里程加用車(chē)時(shí)間，標(biāo)準(zhǔn)是“1元/公里+0.1元/分鐘”，李先生家離上班地點(diǎn)10公里，每天租用共享汽車(chē)上下班，由于堵車(chē)因素，每次路上開(kāi)車(chē)花費(fèi)的時(shí)間是一個(gè)隨機(jī)變量，根據(jù)一段時(shí)間統(tǒng)計(jì)40次路上開(kāi)車(chē)花費(fèi)時(shí)間在各時(shí)間段內(nèi)的情況如下：

時(shí)間（分鐘）	[15，25）	[25，35）	[35，45）	[45，55）	[55，65]
次數(shù)	8	14	8	8	2

以各時(shí)間段發(fā)生的頻率視為概率，假設(shè)每次路上開(kāi)車(chē)花費(fèi)的時(shí)間視為用車(chē)時(shí)間，范圍為[15，65]分鐘．
（Ⅰ）若李先生上、下班時(shí)租用一次共享汽車(chē)路上開(kāi)車(chē)不超過(guò)45分鐘，便是所有可選擇的交通工具中的一次最優(yōu)選擇，設(shè)ξ是4次使用共享汽車(chē)中最優(yōu)選擇的次數(shù)，求ξ的分布列和期望．
（Ⅱ）若李先生每天上下班使用共享汽車(chē)2次，一個(gè)月（以20天計(jì)算）平均用車(chē)費(fèi)用大約是多少（同一時(shí)段，用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依題意ξ的值可能為0，1，2，3，4，且ξ～B（4，$\frac{3}{4}$），由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．
（Ⅱ）先求出每次用車(chē)路上平均花的時(shí)間，從而求出每次租車(chē)的費(fèi)用，由此能求出一個(gè)月的平均用車(chē)費(fèi)用．

解答 解：（Ⅰ）李先生一次租用共享汽車(chē)，為最優(yōu)選擇的概率$p=\frac{30}{40}=\frac{3}{4}$
依題意ξ的值可能為0，1，2，3，4，且ξ～B（4，$\frac{3}{4}$），…（2分）
$P（ξ=0）=（_4^0{（\frac{3}{4}）^0}{（\frac{1}{4}）^4}=\frac{1}{256}$，
$P（ξ=1）=（_4^1（\frac{3}{4}）{（\frac{1}{4}）^3}=\frac{12}{256}$，
$P（ξ=2）=（_4^2{（\frac{3}{4}）^2}{（\frac{1}{4}）^2}=\frac{54}{256}$，
$P（ξ=3）=（_4^3{（\frac{3}{4}）^3}{（\frac{1}{4}）^1}=\frac{108}{256}$，
$P（ξ=4）=（_4^4{（\frac{3}{4}）^4}{（\frac{1}{4}）^0}=\frac{81}{256}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{256}$	$\frac{12}{256}$	$\frac{54}{256}$	$\frac{108}{256}$	$\frac{81}{256}$

…（6分）
$Eξ=1×\frac{12}{256}+2×\frac{54}{256}+3×\frac{108}{256}+4×\frac{81}{256}=3$（或$Eξ=4×\frac{3}{4}=3$）．…（8分）
（Ⅱ）每次用車(chē)路上平均花的時(shí)間$t=20×\frac{8}{40}+30×\frac{14}{40}+40×\frac{8}{40}+50×\frac{8}{40}+60×\frac{2}{40}=35.5$（分鐘）…10 分
每次租車(chē)的費(fèi)用約為10+35.5×0.1=13.55元．
一個(gè)月的平均用車(chē)費(fèi)用約為542元．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法及應(yīng)用，考查二項(xiàng)公布的性質(zhì)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．