Question

如右圖所示,若點A在平面BDC上的射影H是△BDC的垂心,求證:點C在平面ADB上的射影H′也是△ABD的垂心.

Answer 1

分析：要證H′是△ABD的重心,則只需證明AH′⊥BD,DH′⊥AB.由三垂線定理可知,只需證明BD⊥AC,AB⊥CD.由A在△BCD內(nèi)的射影為△BCD的垂心易得上述兩個垂直.

證明：從三角形垂心的定義知，連結(jié)CH并延長與BD交于E，則CE⊥BD.

∵AH⊥平面BDC,∴直線CA在平面BDC上的射影是直線CE.∴BD⊥AC.

從H′是C在平面ABD上的射影,知CH′⊥平面ABD,連結(jié)AH′并延長與BD交于F點,則直線AF是斜線CA在平面ABD的射影.∵BD⊥AC,

∴BD⊥AF.連結(jié)DH′并延長與AB交于G,同理從AB⊥CD可知AB⊥DG,所以H′是△ADB的垂心.

點評：本試題應(yīng)注意兩個問題:一是充分利用三角形垂心是三角形高的交點這一性質(zhì);二是三垂線定理及逆定理的反復(fù)利用,并且能順利地找到平面的垂線,斜線在平面內(nèi)的射影.