Question

已知數(shù)列{a_n}的通項公式為an=

8n

(4n2-1)2

，S_n為其前n項的和，計算S₁，S₂，S₃的值，根據(jù)計算結(jié)果，推測出計算S_n的公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．

Answer 1

S₁=a₁=

8

9

，S₂=a₁+a₂=

24

25

，S₃的=S₂ +a₃=

48

49

．
猜測 S_n =

(2n+1)2-1

(2n+1)2

．
證明：①當(dāng)n=1時，由以上可知，猜測成立．
②假設(shè)n=k時，猜測成立，即 S_K=

(2k+1)2-1

(2k+1)2

．
則n=k+1時，S_K+1=S_K+a_k+1=

(2k+1)2-1

(2k+1)2

+

8(k+1)

[4(k+1)2-1]2

 
=

(2k+1)2-1

(2k+1)2

+

8(k+1)

(2k+1)2(2k+3)2

=

[(2k+1)2-1](2k+3)2+8(k+1)

(2k+1)2(2k+3)2

 
=

(2k+3)2-1

(2k+1)2(2k+3)2

=

[2(k+1)+1 ]2-1

(2k+1)2(2k+3)2

．
故當(dāng)n=k+1時，猜測仍然成立．
綜合①②可得，猜測對任意的正整數(shù)都成立．