Question

已知復(fù)數(shù)z₁、z₂滿足|z₁|=|z₂|=1，且z₁+z₂=i，求z₁、z₂的值.

Answer 1

思路解析：根據(jù)兩復(fù)數(shù)的關(guān)系z₁+z₂=i來設(shè)復(fù)數(shù)z₁、z₂可以減少未知數(shù)的個數(shù)，從而使式子簡化便于求解.

解:由z₁+z₂=i是純虛數(shù)，且|z₁|=|z₂|=1，可設(shè)z₁=a+bi，z₂=-a+bi(a、b∈R),

且a²+b²=1，于是由(a+bi)+(-a+bi)=i.可得b=,a=±.

∴z₁=+，z₂=+或z₁=+，z₂=+.

變式方法:設(shè)z₁、i、z₂在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點分別為A、C、B.

∵z₁+z₂=i，且|z₁|=|z₂|=|i|=1，∴△OAC為等邊三角形，∠AOx=30°且|OA|=1.

A點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為+或+.

關(guān)于虛軸的對稱點B對應(yīng)的復(fù)數(shù)為+或+.

∴z₁=+，z₂=+或z₁=+，z₂=+.

深化升華  在復(fù)數(shù)的解題過程中，如果能用上復(fù)數(shù)的幾何表示，結(jié)合幾何圖形來分析，經(jīng)常能使過程簡化，是數(shù)形結(jié)合這一重要思想方法的體現(xiàn).