Question

設(shè)函數(shù)f(x)=(

1

2

)x，數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a1=f(0)，f(an+1)=

1

f(-2-an)

(n∈N*)
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令 bn=(

1

2

)an，Sn=b1+b2+…+bn，Tn=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

，試比較 S_n與

4

3

Tn的大小，并加以證明．

Answer 1

（1）∵f(x)=(

1

2

)x∴a1=f(0)=(

1

2

)0=1，
又∵f(an+1)=

1

f(-2-an)

∴(

1

2

)an+1=

1

( 1 2 )-2-an

=(

1

2

)an+2．…（2分）
∴a_n+1=a_n+2即 a_n+1-a_n=2，∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為 2 的等差數(shù)列
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．…（5分）
（2）∵bn=(

1

2

)an=(

1

2

)2n-1∴

bn+1

bn

=

( 1 2 )2n+1

( 1 2 )2n-1

=

1

4

…（6分）
即數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為 

1

2

，公比為 

1

4

的等比數(shù)列
∴Sn=b1+b2+…+bn=

1 2 [1-( 1 4 )n]

1- 1 4

=

2

3

[1-(

1

4

)n]…（7分）Tn=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan-1

=

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)…（10分）
∴

4

3

Tn=

2

3

(1-

1

2n+1

)
故比較Sn與

4

3

Tn的大小，只需比較 (

1

4

)n與

1

2n+1

的大小即可       …（11分）
即只需比較 2n+1與4ⁿ的大小
∵4ⁿ=（1+3）ⁿ=1+C_n¹•3+…≥3n+1＞2n+1…（12分）
故 Sn＞

4

3

Tn   …（13分）