Question

15．大學生小李畢業(yè)后自主創(chuàng)業(yè)，買了一輛小型卡車，運輸農產品．在輸葡萄收獲季節(jié)，運輸1車葡萄．當天批發(fā)完獲利潤500元，當天未批發(fā)或有剩余，一律按每車虧損300元計算．根據以往市場調查，得到葡萄收獲季節(jié)市場需求量的直方圖，如圖所示，今年葡萄收獲的季節(jié)，小李給當地農民定了160車葡萄，以X（單位：車，100≤X≤200）表示今年葡萄收獲季節(jié)的市場需求量，Y（單位：元）表示今年葡萄銷售的利潤．
（1）將Y表示為X的函數；
（2）根據直方圖估計利潤Y不少于64000元的概率；
（3）在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值，并以需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點值的概率（例如：若需求量X∈[100，120），則X=110，且X=110的概率等于需求量落入[100，120）的頻率），求Y的數學期望．

Answer 1

分析 （1）當160≤X≤200時，Y=500×160=80000，當100≤X＜160時，Y=500X-（160-X）×300=800X-48000，由此能將將Y表示為X的函數．
（2）由利潤Y不少于64000元，得800X-48000≥64000，由此利用頻率分布直方圖能估計利潤Y不少于64000元的概率．
（3）由頻率分布直方圖能求出Y的數學期望．

解答 解：（1）∵在輸葡萄收獲季節(jié)，運輸1車葡萄．當天批發(fā)完獲利潤500元，當天未批發(fā)或有剩余，一律按每車虧損300元計算．
小李給當地農民定了160車葡萄，以X（單位：車，100≤X≤200）表示今年葡萄收獲季節(jié)的市場需求量，
Y（單位：元）表示今年葡萄銷售的利潤，
∴當160≤X≤200時，Y=500×160=80000，
當100≤X＜160時，
Y=500X-（160-X）×300=800X-48000，
∴Y=$\left\{\begin{array}{l}{80000，160≤X≤200}\\{800X-48000，100≤X＜160}\end{array}\right.$．
（2）∵利潤Y不少于64000元，
∴800X-48000≥64000，
∴X≥140．
由頻率分布直方圖得X≥140的頻率為：（0.015+0.0125+0.0075）×20=0.7，
∴根據直方圖估計利潤Y不少于64000元的概率為0.7．
（3）EY=110×0.005×20+130×0.01×20+150×0.015×20+170×0.0125×20+190×0.0075×20=153．
∴Y的數學期望為153．

點評 本題考查函數表達式的求法，考查概率的求法，考查隨時機變量的數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意頻率分布直方圖的合理運用．