Question

19．已知函數(shù)f（x），對于實數(shù)t，若存在a＞0，b＞0，滿足：?x∈[t-a，t+b]，使得|f（x）-f（t）|≤2，則記a+b的最大值為H（t）．
（1）當f（x）=2x時，H（0）=2；
（2）當f（x）=x²且t∈[1，2]時，函數(shù)H（t）的值域為[2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{6}$]．．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，當f（x）=2x時，不等式|f（x）-f（0）|≤2化為|2x|≤2，求出解集，得出a+b的最大值H（0）；
（2）根據(jù)題意，當f（x）=x²且t∈[1，2]時，不等式|f（x）-f（t）|≤2化為|x²-t²|≤2，利用不等式的性質(zhì)得出x²≤t²+2，求出x的取值范圍，得出函數(shù)H（t）的值域．

解答 解：（1）根據(jù)題意，當f（x）=2x時，存在a＞0，b＞0，滿足：
?x∈[-a，b]，使得|f（x）-f（0）|≤2，
即|f（x）|≤2，
∴|2x|≤2，
即|x|≤1，
解得-1≤x≤1；
令$\left\{\begin{array}{l}{-a=-1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
解得a=b=1；
∴a+b的最大值為H（0）=2；
（2）根據(jù)題意，當f（x）=x²且t∈[1，2]時，
不等式|f（x）-f（t）|≤2可化為|x²-t²|≤2，
∴x²≤t²+2，
即|x|≤$\sqrt{{t}^{2}+2}$；
又t∈[1，2]，∴t²∈[1，4]，∴t²+2∈[3，6]；
∴$\sqrt{{t}^{2}+2}$∈[$\sqrt{3}$，$\sqrt{6}$]，
解得-$\sqrt{3}$≤x≤$\sqrt{3}$或-$\sqrt{6}$≤x≤$\sqrt{6}$；
當-$\sqrt{3}$≤x≤$\sqrt{3}$時，H（t）=2$\sqrt{3}$，
當-$\sqrt{6}$≤x≤$\sqrt{6}$時，H（t）=2$\sqrt{6}$；
∴函數(shù)H（t）的值域為[2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{6}$]．
故答案為：（1）2，（2）[2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{6}$]．

點評 本題考查了新定義函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問題，也考查了不等式的解法與應(yīng)用問題，是綜合性題目．