Question

12．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，P為棱CD上的一點，且三棱錐A-CPD₁的體積為$\frac{2}{3}$．
（1）求CP的長；
（2）求直線AD與平面APD₁所成的角θ的正弦值；
（3）請直接寫出正方體的棱上滿足C₁M∥平面APD₁的所有點M的位置，并任選其中的一點予以證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三棱錐的等積法求解得出$\frac{1}{3}×2×\frac{1}{2}×CP$×2=$\frac{2}{3}$，求解即可得出CP，
（2）距離坐標系得出$\overrightarrow{AD}$=（0，2，0），$\overrightarrow{AP}$=（1，2，0），$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（0，2，2），運用向量的數(shù)量積得出法向量$\overrightarrow{n}$=（2，-1，1），sinθ=$\frac{|\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AD}|•\overrightarrow{|n|}}$，
（3）判斷M點的位置為A₁B₁中點，平面APD₁的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（2，-1，1），運用直線與平面的平行的判定定理得出C₁M∥平面APD₁．

解答 解：（1）依題意得，AD⊥平面CPD，AD=DD₁=2，
所以三棱錐A-CPD₁的體積為$\frac{1}{3}×2×\frac{1}{2}×CP$×2=$\frac{2}{3}$，
CP=1，
（2）以A為原點，AB，AD，AA₁，所在直線分別為x，y，z軸，建立坐標系，
A（0，0，0），D（0，2，0），P（1.2，0），D₁（0，2，2），
$\overrightarrow{AD}$=（0，2，0），$\overrightarrow{AP}$=（1，2，0），$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（0，2，2），
設(shè)平面APD₁的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{n}=0}\\{\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{n}=0}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=0}\\{2y+2z=0}\end{array}\right.$得出$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-1}\\{z=1}\end{array}\right.$
∴$\overrightarrow{n}$=（2，-1，1），
即sinθ=$\frac{|\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AD}|•\overrightarrow{|n|}}$=$\frac{2}{2×\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
故直線AD與平面APD₁所成的角θ的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
（3）∵M點的位置為A₁B₁中點，
可知C₁（2，2，2），M（1，0，2），$\overrightarrow{{C}_{1}M}$=（-1，-2，0），
∴平面APD₁的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（2，-1，1），
∴$\overrightarrow{{C}_{1}M}$$•\overrightarrow{n}$=0，
∵C₁M?平面APD₁，
∴C₁M∥平面APD₁

點評 本題考查了直線與平面所成的角，運用平面的法向量，結(jié)合向量的運用求解夾角，證明平行問題，屬于有點計算能力的證明題目．