Question

如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，，∥，且，，為的中點(diǎn)．

（1）設(shè)與平面所成的角為，二面角的大小為，求證：；

（2）在線段上是否存在一點(diǎn)（與兩點(diǎn)不重合），使得∥平面? 若存在，求的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析；（2）存在，的長(zhǎng)為.

【解析】

試題分析：（1）直線和平面所成的角以及二面角的計(jì)算，可以考慮兩種方法，其一利用傳統(tǒng)立體幾何的方法，由已知得，，又，故面，則，由平面，，故，則，然后分別在直角三角形中，求，或者可以建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)平面的法向量和直線的方向向量求直線和平面所成的角，利用兩個(gè)半平面的法向量來(lái)求二面角的大�。唬�2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，并求出半平面的法向量，利用和法向量垂直，列等式，即可求解.

試題解析：解法一：(1)證明： 又

1分

又平面，,面 2分

∴ 3分

, 5分

6分

(2)取的中點(diǎn)，連交于,由與相似得，, 7分

在上取點(diǎn),使,則, 8分

在上取點(diǎn)使,由于平行且等于,

故有平行且等于， 9分

四邊形為平行四邊形，所以, 10分

而, 故有∥平面, 11分

所以在線段上存在一點(diǎn)使得∥平面，的長(zhǎng)為. 12分

解法二：（1）同解法一；

（2）如圖，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立直角坐標(biāo)系，則,為的中點(diǎn),則 7分

假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)，則共面，

故存在實(shí)數(shù)，使得 9分

即，故有即 11分

即存在符合條件的點(diǎn)，的長(zhǎng)為. 12分

考點(diǎn)：1、直線和平面所成的角；2、二面角的求法；3、直線和平面平行的判定.