Question

18．設(shè)F為拋物線y²=4x的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為30°的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，則|AB|=（　�。�

• A． 16
• B． 6
• C． 12
• D． 7$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)F（1，0），用點(diǎn)斜式設(shè)出直線方程：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-1），與拋物線方程聯(lián)解得一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合曲線的弦長(zhǎng)的公式，可以求出線段AB的長(zhǎng)度．

解答 解：根據(jù)拋物線y²=4x方程得：焦點(diǎn)坐標(biāo)F（1，0），
直線AB的斜率為k=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
由直線方程的點(diǎn)斜式方程，設(shè)AB：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-1），
將直線方程代入到拋物線方程中，得：$\frac{1}{3}$（x-1）²=4x，
整理得：x²-14x+1=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得：x₁+x₂=14，x₁•x₂=1，所以弦長(zhǎng)|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+\frac{1}{3}}•\sqrt{196-4}$=16．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題以拋物線為載體，考查了圓錐曲線的弦長(zhǎng)問題，屬于難題．本題運(yùn)用了直線方程與拋物線方程聯(lián)解的方法，對(duì)運(yùn)算的要求較高．利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和弦長(zhǎng)公式是解決本題的關(guān)鍵．