Question

已知a＞0且a≠1，f(logax)=

a(x2-1)

x(a2-1)

．
試判斷f（x）在定義域上是否為單調(diào)函數(shù)？若是，是增函數(shù)還是減函數(shù)？并證明結(jié)論．

Answer 1

分析：先通過(guò)換元法，等價(jià)轉(zhuǎn)化函數(shù)為f(x)=

a

a2-1

(ax-a-x)，用函數(shù)的單調(diào)性定義證明．

解答：解：是增函數(shù)．證明如下：
設(shè)t=log_ax，則x=a^t，
∴f(t)=

a

a2-1

•

a2t-1

at

，
即f(t)=

a

a2-1

(at-a-t)．
∴f(t)=

a

a2-1

(ax-a-x)．
∵f（x）的定義域?yàn)镽，
設(shè)x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=

a

a2-1

[(ax1-a-x1)-(ax2-a-x2)]=

a

a2-1

•

(ax1-ax2)(1+ax1ax2)

ax1•ax2

．
∵a＞0，a≠1，
∴ax1ax2＞0，1+ax1ax2＞0．
若0＜a＜1，則ax1＞ax2，ax1-ax2＞0．
此時(shí)

a

a2-1

＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）．
同理，若a＞1，則f（x₁）＜f（x₂）．
綜上所述，當(dāng)a＞0且a≠1時(shí)，f（x）在R上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的等價(jià)轉(zhuǎn)化以及分類(lèi)討論思想．