Question

2．如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N、P分別是AB、AD、AA₁的中點，
（1）求證：平面CB₁D₁∥平面MNP；
（2）求平面CB₁D₁與平面MNP的距離．

Answer 1

分析 （1）連結A₁B、A₁D，根據(jù)正方體的性質(zhì)證出四邊形A₁D₁CB是平行四邊形，可得A₁B∥D₁C，由三角形中位線定理得PM∥A₁B，從而得到PM∥D₁C，利用線面平行判定定理證出PM∥平面CB₁D₁，同理可得MN∥平面CB₁D₁．最后利用面面平行判定定理即可證出平面MNP∥平面CB₁D₁．
（2）由題意，AC₁被平面CB₁D₁、平面A₁BD截成相等的3部分，距離為$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，A到平面MNP的距離為$\frac{\sqrt{3}}{6}$a，即可求出平面CB₁D₁與平面MNP的距離．

解答 （1）證明：連結A₁B、A₁D，
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D₁平行且等于BC，
∴四邊形A₁D₁CB是平行四邊形，可得A₁B∥D₁C，
∵PM是△AA₁B的中位線，可得PM∥A₁B，∴PM∥D₁C，
∵PM?平面CB₁D₁，D₁C?平面CB₁D₁，
∴PM∥平面CB₁D₁，
同理可得：MN∥平面CB₁D₁，
∵PM、MN是平面MNP內(nèi)的相交直線，
∴平面MNP∥平面CB₁D₁．
（2）解：由題意，AC₁被平面CB₁D₁、平面A₁BD截成相等的3部分，距離為$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，A到平面MNP的距離為$\frac{\sqrt{3}}{6}$a，
∴平面CB₁D₁與平面MNP的距離為$\frac{\sqrt{3}}{3}$a+$\frac{\sqrt{3}}{6}$a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a．

點評 本題證明正方體中的面面平行，考查了正方體的性質(zhì)、線面平行與面面平行的判定定理，考查平面與平面間的距離等知識，屬于中檔題．