Question

15．從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機(jī)變量X表示所選3人中女生的人數(shù)．
（1）求X的分布列；
（2）求X的均值與方差；
（3）求“所選3人中女生人數(shù)X≤1”的概率．

Answer 1

分析 （1）由題意X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列．
（2）由X的分布列能求出X的均值E（X）和方差D（X）．
（3）“所選3人中女生人數(shù)X≤1”的概率p=p（X=0）+P（X=1），由此能求出結(jié)果．

解答 解：（1）∵從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，
設(shè)隨機(jī)變量X表示所選3人中女生的人數(shù)，
∴X的可能取值為0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{3}{5}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

（2）X的均值E（X）=$0×\frac{1}{5}+1×\frac{3}{5}+2×\frac{1}{5}$=1．
X的方差D（X）=$（0-1）^{2}×\frac{1}{5}+（1-1）^{2}×\frac{3}{5}$+（2-1）²×$\frac{1}{5}$=$\frac{2}{5}$．
（3）“所選3人中女生人數(shù)X≤1”的概率：
p=p（X=0）+P（X=1）=$\frac{1}{5}+\frac{3}{5}=\frac{4}{5}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望、方差的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意排列組合知識的合理運(yùn)用．