Question

18．函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}+4x}{{x}^{2}+4x+2}$的值域是（-∞，1）∪（2，+∞）．

Answer 1

分析 根據(jù)分式的性質(zhì)，結(jié)合分式的單調(diào)性進(jìn)行求解即可．

解答 解：f（x）=$\frac{{x}^{2}+4x}{{x}^{2}+4x+2}$=$\frac{{x}^{2}+4x+2-2}{{x}^{2}+4x+2}$=1-$\frac{2}{{x}^{2}+4x+2}$=1-$\frac{2}{（x+2）^{2}-2}$，
由（x+2）²-2≠0，
得（x+2）²≠2，
解得x≠-2$+\sqrt{2}$且x≠-2-$\sqrt{2}$，
當(dāng)x＜-2-$\sqrt{2}$或x＞-2$+\sqrt{2}$，（x+2）²-2＞0，
則$\frac{1}{（x+2）^{2}-2}$＞0，$\frac{2}{（x+2）^{2}-2}$＞0，-$\frac{2}{（x+2）^{2}-2}$＜0，
則1-$\frac{2}{（x+2）^{2}-2}$＜1，即此時f（x）＜1，
當(dāng)-2-$\sqrt{2}$＜x＜-2$+\sqrt{2}$，-2＜（x+2）²-2＞0，
則$\frac{1}{（x+2）^{2}-2}$＜-$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{（x+2）^{2}-2}$＜-1，-$\frac{2}{（x+2）^{2}-2}$＞1，
則1-$\frac{2}{（x+2）^{2}-2}$＞2，即此時f（x）＞2，
綜上f（x）＜1或f（x）＞2，
即函數(shù)的值域為（-∞，1）∪（2，+∞），
故答案為：（-∞，1）∪（2，+∞）

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)值域的求解，利用分子常數(shù)化，結(jié)合分式函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．