Question

5．動(dòng)圓G與圓O₁：x²+y²+2x=0外切，同時(shí)與圓O₂：x²+y²-2x-8=0內(nèi)切，設(shè)動(dòng)圓圓心G的軌跡為Γ．
（1）求曲線Γ的方程；
（2）直線x=t（t＞0）與曲線Γ相交于不同的兩點(diǎn)M，N，以MN為直徑作圓C，若圓C與y軸相交于兩點(diǎn)P，Q，求△PQC面積的最大值；
（3）設(shè)D（${\sqrt{3}$，0），過D點(diǎn)的直線l（不垂直x軸）與曲線Γ相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)E，若$\overrightarrow{EA}$=λ$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{EB}$=μ$\overrightarrow{BD}$，試探究λ+μ的值是否為定值，若是，求出該定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）求得圓O₁，圓O₂的圓心、半徑，由兩圓相切的條件，結(jié)合橢圓的定義，可得動(dòng)圓圓心G的軌跡方程；
（2）設(shè)圓心為C（t，0）（0＜t＜2）．求得圓C的半徑，弦長(zhǎng)PQ，由三角形的面積公式，化簡(jiǎn)運(yùn)用基本不等式，即可得到最大值；
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去y，運(yùn)用韋達(dá)定理，結(jié)合向量共線的坐標(biāo)表示，化簡(jiǎn)整理，即可得到定值．

解答 解：（1）圓O₁：x²+y²+2x=0的圓心為（-1，0），半徑為1，
圓O₂：x²+y²-2x-8=0為（1，0），半徑為3，
設(shè)圓G的半徑為r，依題意得：|GO₁|=r+1，|GO₂|=3-r，
所以|GO₁|+|GO₂|=4＞|O₁O₂|=2，
所以G點(diǎn)軌跡是以O(shè)₁，O₂為焦點(diǎn)的橢圓，
即有a=2，c=1，b=$\sqrt{3}$，
所以曲線Γ的方程是$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）依題意，圓心為C（t，0）（0＜t＜2）．
由$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$ 得y²=$\frac{12-3{t}^{2}}{4}$．
∴圓C的半徑為r=$\frac{\sqrt{12-3{t}^{2}}}{2}$．
∵圓C與y軸相交于不同的兩點(diǎn)P，Q，且圓心C到y(tǒng)軸的距離d=t，
∴0＜t＜$\frac{\sqrt{12-3{t}^{2}}}{2}$，即0＜t＜$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．
∴弦長(zhǎng)|PQ|=2$\sqrt{{r}^{2}-pb1jn33^{2}}$=$\sqrt{12-7{t}^{2}}$
∴△PQC的面積S=$\frac{1}{2}$t$\sqrt{12-7{t}^{2}}$=$\frac{1}{2\sqrt{7}}$（$\sqrt{7}$t）$\sqrt{12-7{t}^{2}}$≤$\frac{1}{2\sqrt{7}}$•$\frac{7{t}^{2}+12-7{t}^{2}}{2}$=$\frac{3\sqrt{7}}{7}$，
即有S=$\frac{1}{2}$t$\sqrt{12-7{t}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\sqrt{7}$t=$\sqrt{12-7{t}^{2}}$即t=$\frac{\sqrt{42}}{7}$時(shí)，等號(hào)成立，
所以△PQC面積的最大值是$\frac{3\sqrt{7}}{7}$；
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l：y=k（x-$\sqrt{3}$），則E（0，-$\sqrt{3}$k），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\sqrt{3}）}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$可得（3+4k²）x²-8$\sqrt{3}$k²x+12（k²-1）=0，
x₁+x₂=$\frac{8\sqrt{3}{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，①x₁x₂=$\frac{12{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，②
由$\overrightarrow{EA}$=λ$\overrightarrow{AD}$，得（-x₁，-$\sqrt{3}$k-y₁）=λ（$\sqrt{3}$-x₁，-y₁），
得-x₁=λ（$\sqrt{3}$-x₁），則λ=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{1}-\sqrt{3}}$，
同理可得μ=$\frac{{x}_{2}}{{x}_{2}-\sqrt{3}}$，
λ+μ=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{1}-\sqrt{3}}$+$\frac{{x}_{2}}{{x}_{2}-\sqrt{3}}$=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}-\sqrt{3}（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}-\sqrt{3}（{x}_{1}+{x}_{2}）+3}$，
代入①②化簡(jiǎn)可得λ+μ=8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和圓的位置關(guān)系，圓和圓的位置關(guān)系，考查弦長(zhǎng)公式和相切的條件，同時(shí)考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)，向量共線的坐標(biāo)表示，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．